Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде

, где матрица

имеет размеры ${m\times n}$ .

Предложение 15.4 Пусть и -- решения неоднородной системы . Тогда их разность является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы .

Доказательство. По условию

. Тогда

$\displaystyle Ag=A(c-d)=Ac-Ad=b-b=0.$

Так как

, то

-- решение однородной системы.

Предложение 15.5 Пусть -- решение неоднородной системы , -- любое решение однородной системы . Тогда -- решение неоднородной системы.

Доказательство предоставляется читателю.

Определение 15.7 Пусть $x^{(0)}$ -- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений

-- общее решение однородной системы

. Тогда выражение ${x=x^{(0)}+z}$ называется общим решением неоднородной системы.

Учитывая запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему ее решений ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ , получаем для общего решения неоднородной системы формулу

$\displaystyle x=x^{(0)}+C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)}.$

Из двух последних предложений следует, что любое решение неоднородной системы может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях коэффициентов ${C_1,C_2,\dots,C_k}$ .

Теорема 15.4 Система линейных уравнений может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.

Доказательство. Пусть система имеет решение $x^{(0)}$ . Если однородная система

имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что $x^{(0)}$ -- единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент

, и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.